하나. 주어진 세트 $A$ 및 $B$에 대해 $A+B=\{a+b\mid a\in A$ 및 $b\in B \}$를 정의합니다. 다음 단계를 사용하여 $A$ 및 $B$가 비어 있지 않고 상위 집합에 한정된 경우 $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$임을 증명합니다.
(a) $s=\sup A$ 및 $t=\sup B$라고 하자. $s+t$가 $A+B$의 상한임을 보여라.
(b) 이번에는 $a\in A$를 고정하고 $u$를 $A+B$의 임의의 상한선으로 설정합니다. $t\le ua$를 보여주세요.
(c) 마지막으로 $\sup(A+B)=s+t$임을 보여라.
(d) 보조정리를 사용하여 방금 얻은 결과를 증명하십시오.
기본형 $s\in \mathbb{R}$를 집합 $A\subset\mathbb{R}$의 상한이라고 합니다. $s=\sup A$의 필요충분조건은 A$에 $a\epsilon이라는 원소가 있다는 것이다.
2. $x^2=2$와 같은 실수 $x\in \mathbb{R}$가 있음을 증명하십시오.
$\left\{x\in \mathbb{R}\mid x^2<2\right\}$ 의 상한은 $\sqrt2$ 이므로 존재한다고 주장하는 것은 앞에 $ \sqrt2$ 가 이미 존재한다고 가정합니다. , 그래서 그것은 오류입니다. 이제 우리는 이 실수 $x$가 유리수가 아님을 증명함으로써 무리수임을 증명할 수 있습니다.
삼. 아르키메데스 속성증명 다음 진술은 모두 아르키메데스 속성이라고 할 수 있지만 일반적으로 (a)를 참조합니다.
(a) $x\in \mathbb{R}$이면 $n_x\in \mathbb{N}$이면 $x
(b) $S=\left\{\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\}$이면 $\inf S=0$.
(c) $t>0$이면 $n_t\in \mathbb{N}$는 $0<\frac{1}{n_t}
(d) $y>0$인 경우, $n_y-1 ≤ y가 되는 $n_y\in \mathbb{N}$
4. 삼를 사용하여 유리수와 무리수의 압축성을 증명하십시오.
(a) 증명: 만약 $x$와 $y$가 실수 $x라면
(b) 만약 $x$와 $y$가 실수라면 $x는
5. 중첩 간격 세트감소 구간 정리(Reduction Interval Theorem)는 실수가 수직선을 완전히 채우는 방법을 나타냅니다.
(a) $I_n=\left(a_n,\ b_n\right), \n\in \mathbb{N}$가 경계가 있는 감소된 닫힌 간격 시퀀스인 경우 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $ Es는 숫자 $\xi\in \mathbb{R}$를 반환하며 이는 \xi\in I_n$입니다.
(b) $I_n=\left(a_n,\ b_n\right), 여기서 \n\in \mathbb{N}$는 제한된 폐쇄 시퀀스이고 $I_n$의 길이 $b_n-a_n$는 $\ inf\ 만약 left\{b_n-a_n\mid n\in \mathbb{N}\right\}=0$이면, 모든 $n\in \mathbb{N}$ $에 대해 $I_n$에 포함된 숫자 $\xi는 고유합니다. .
6. 5특정 시퀀스 $\left\{x_n\mid n\in \mathbb{N}\right\}=\mathbb{R}$로 \right\}$를 잡을 수 없음을 보여줍니다. 이것은 실제 집합 $\mathbb{R}$이 셀 수 없는 집합이라는 것을 의미합니다.
7. $X$ 및 $Y$는 비어 있지 않은 집합이고 $h:X\times Y\to\mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$로 제한되는 범위를 가집니다. $F:X\to\mathbb{R}$ 및 $G:Y\to\mathbb{R}$가 다음과 같이 정의되었다고 가정합니다.
$$F(x)=\sup\left\{h(x,\ y)\mid y\in Y\right\},\ G(y)=\sup\left\{h(x,\ y) \mid x\in X\right\}.$$
반복된 슈프리마의 원리
$$\sup\left\{h(x,\ y)\mid x\in X,\ y\in Y\right\}=\sup\left\{F(x)\mid x\in X\right \}=\sup\left\{G(y)\mid y\in Y\right\}$$
찾음 이것은 때때로 다음 아이콘으로 표시됩니다.
$$\underset{x,\ y}{\sup}h(x,\ y)=\underset{x}{\sup}\underset{y}{\sup}h(x,\ y)=\underset {y}{\sup}\underset{x}{\sup}h(x,\y)$$
8일. $b>1$로 수정합시다.
(a) $m,\ n,\ p,\ q$는 정수이고 $n>0,\ q>0$, $r=\frac{m}{n}=\frac{p}{q} $ $$(b^m)^{\frac{1}{n}}=(b^p)^{\frac{1}{q}}.$$그래서 $b^r =( b^ m )^{\frac{1}{n}}$ 그럴듯합니다.
(b) $r$와 $s$가 유리수이면 $b^{r+s}=b^rb^s$임을 증명하십시오.
(c) 만약 $x$가 실수라면, $t\in \mathbb{Q}$와 모든 $b^t$의 집합은 $t ≤ x$가 $B(x)$로 정의되도록 정의됩니다. 이다 . $r$이 유리수이면 다음을 증명하십시오.
$$b^r=\supB(r)$$
따라서 모든 실수 $x$에 대해 $b^x=\sup B(x)$를 정의하는 것이 타당합니다.
(d) 모든 실수 $x$ 및 $y$에 대해 $b^{x+y}=b^xb^y$임을 증명하십시오.
문제 소스
실제 분석 입문(Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert)
분석의 이해(Steven Abbott)
수학적 분석의 기초(Walter Rudin)
지수 17 최정원